Силы тяготения Релятивистская масса и релятивистский импульс

Основное уравнение кинетической теории газов.

Энергия молекул

9.12. Определить концентрацию п молекул идеального газа при температуре T=300 К и давлении p=1 мПа.

9.13. Определить давление p идеального газа при двух значениях температуры газа: 1) T=3 К; 2) T=1 кК. Принять концентрацию п молекул газа равной »1019 см-3.

9.14. Сколько молекул газа содержится в баллоне вместимостью V=30 л при температуре Т=300 К и давлении р=5 МПа?

9.15. Определить количество вещества v и концентрацию п молекул газа, содержащегося в колбе вместимостью V=240 см3 при температуре T=290 К и давлении р=50 кПа.

9.16. В колбе вместимостью V=100 см3 содержится некоторый газ при температуре T=300 К. На сколько понизится давление р газа в колбе, если вследствие утечки из колбы выйдет N= 1020 молекул?

9.17. В колбе вместимостью V =240 см3 находится газ при температуре Т=290 К и давлении р=50 кПа. Определить количество вещества v газа и число N его молекул.

9.18. Давление р газа равно 1 мПа, концентрация п его молекул равна 1010 см-3. Определить: 1) температуру Т газа; 2) среднюю кинетическую энергию <eп> поступательного движения молекул газа. Фотопроводимость полупроводников. Экситоны Увеличение электропроводности полупроводников может быть обусловлено не только тепловым возбуждением носителей тока, но и под действием электромагнитного излучения.

9.19. Определить среднюю кинетическую энергию <eп> поступательного движения и среднее значение <e>полной кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре Т=600 К. Найти также кинетическую энергию W поступательного движения всех молекул пара, содержащего количество вещества v=l кмоль.

9.20. Определить среднее значение <e> полной кинетической энергии одной молекулы гелия, кислорода и водяного пара при температуре T=400 К.

9.21. Определить кинетическую энергию <e1>, приходящуюся в среднем на одну степень свободы молекулы азота, при температуре Т=1 кК, а также среднюю кинетическую энергию <eп> поступательного движения, <eвр> вращательного движения и среднее значение полной кинетической энергии <e> молекулы. Разрешающая способность оптических приборов Используя даже идеальную оптическую систему (такую, для которой отсутствуют дефекты и аберрации), невозможно получить стигматическое изображение точечного источника, что объясняется волновой природой света. Изображение любой светящейся точки в монохроматическом свете представляет собой дифракционную картину, т. е. точечный источник отображается в виде центрального светлого пятна, окруженного чередующимися темными и светлыми кольцами.

9.22. Определить число N молекул ртути, содержащихся в воздухе объемом V=1м3 в помещении, зараженном ртутью, при температуре t=20 °C, если давление р насыщенного пара ртути при этой температуре равно 0,13 Па.

9.23. Для получения высокого вакуума в стеклянном сосуде необходимо прогревать его при откачке с целью удалить адсорбированные газы. Определить, на сколько повысится давление в сферическом сосуде радиусом R=10 см, если все адсорбированные молекулы перейдут со стенок в сосуд. Слой молекул на стенках считать мономолекулярным, сечение s одной молекулы равно 10-15 см2. Температура Т, при которой производится откачка, равна 600 К.

9.24. Определить температуру Т водорода, при которой средняя кинетическая энергия <eп> поступательного движения молекул достаточна для их расщепления на атомы, если молярная энергия диссоциации водорода Wm=419 кДж/моль.

Примечание. Молярной энергией диссоциации называется энергия, затрачиваемая на диссоциацию всех молекул газа количеством вещества v =1 моль.

Скорости молекул

9.25. Найти среднюю квадратичную <Jкв> среднюю арифметическую <J> и наиболее вероятную Jв скорости молекул водорода. Вычисления выполнить для трех значений температуры: 1) T=20 К; 2) T=300 К; 3) Т=5 кК.

9.26. При какой температуре Т средняя квадратичная скорость атомов гелия станет равной второй космической скорости J2=11,2 км/с?

9.27. При какой температуре Т молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость <Jкв>, как молекулы водорода при температуре T1=100 К?

9.28. Колба вместимостью V=4 л содержит некоторый газ массой m=0,6 г под давлением p=200 кПа. Определить среднюю квадратичную скорость <Jкв> молекул газа.

9.29. Смесь гелия и аргона находится при температуре T=1,2 кК. Определить среднюю квадратичную скорость <Jкв> и среднюю кинетическую энергию атомов гелия и аргона.

9.30. Взвешенные в воздухе мельчайшие пылинки движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Определить среднюю квадратичную скорость <Jкв> пылинки массой m=10-10 г, если температура Т воздуха равна 300 К.

9.31. Во сколько, раз средняя квадратичная скорость <Jкв> молекул кислорода больше средней квадратичной скорости пылинки массой m=10-8 г, находящейся среди молекул кислорода?

9.32. Определить среднюю арифметическую скорость <J> молекул газа, если их средняя квадратичная скорость <Jкв>=1 км/с.

9.33. Определить наиболее вероятную скорость Jв молекул водорода при температуре T=400 К.

Элементы статистической физики

Основные формулы

Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

n=n0e-U/(kT),

где п — концентрация частиц; U — их потенциальная энергия; n0 — концентрация частиц в точках поля, где U=0; k — постоянная Больцмана; T — термодинамическая температура; е — основание натуральных логарифмов.

Распределение молекул по импульсам. Число молекул, импульсы которых заключены в пределах от р до p+dp,

,

где f(p) — функция распределения по импульсам.

 Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от e до e+de,

,

где f(e)—функция распределения по энергиям.

 Теплопроводность .(коэффициент теплопроводности) газа

l=cvr<J><l> или l=<J><l>,

где cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; r — плотность газа; <J> — средняя арифметическая скорость его молекулы; <l> — средняя длина свободного пробега молекул.

Закон Фика

Dm= -Dm1SDt,

Пример 2. В сосуде содержится газ, количество вещества v которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число DN молекул, скорости J которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости Jв.

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться распределением молекул по относительным скоростям u (u=J/Jв). Число dN(u) молекул, относительные скорости и, которых заключены в пределах от u до du, определяется формулой

,  (1)

где N — полное число молекул.

Пример 4. Средняя длина свободного пробега <l> молекулы углекислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <J> молекул и число z соударений, которые испытывает молекула в 1 с.

Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле

,

  где М — молярная масса вещества.

Подставив числовые значения, получим

<J>=362 м/с.

Пример 6. Барометр в кабине летящего самолета все время показывает одинаковое давление p=79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с t=5°С до t=1°C. Какую ошибку Dh в определении высоты допустил летчик? Давление р0 у поверхности Земли считать нормальным.

Решение. Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой

p=p0e-Mgh/(RT).

Барометр может показывать неизменное давление р при различных температурах T1 и T2 за бортом только в том случае, если самолет находится не на высоте h (которую летчик считает неизменной), а на некоторой другой высоте h2.

Задачи

Распределение Больцмана

10.1. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m=10-18 г. Во сколько раз уменьшится их концентрация п при увеличении высоты на Dh =10 м? Температура воздуха Т=300 К.

10.2. Одинаковые частицы массой m=10-12 г каждая распределены в однородном гравитационном поле напряженностью G=0,2 мкН/кг. Определить отношение п1/п2 концентраций частиц, находящихся на эквипотенциальных уровнях, отстоящих друг от друга на Dz= 10 м. Температура Т во всех слоях считается одинаковой и равной 290 К.

Распределение молекул по скоростям и импульсам

10.15. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вывести формулу наиболее вероятной скорости Jв.

10.16. Используя функцию распределения молекул по скоростям, получить функцию, выражающую распределение молекул по относительным скоростям и (u=J/Jв).

10.17. Какова вероятность W того, что данная молекула идеального газа имеет скорость, отличную от ½Jв не более чем на 1 %?

10.18. Найти вероятность W того, что данная молекула идеального газа имеет скорость, отличную от 2Jв не более чем на 1 %.

Распределение молекул по кинетическим энергиям

10.32. Найти выражение средней кинетической энергии <eв> поступательного движения молекул. Функцию распределения молекул по энергиям считать известной.

10.33. Преобразовать формулу распределения молекул по энергиям в формулу, выражающую распределение молекул по относительным энергиям w(w=eп/<eп>), где eп —кинетическая энергия; <eп> — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул.

10.34. Определить долю w молекул идеального газа, энергии которых отличаются от средней энергии <eп> поступательного движения молекул при той же температуре не более чем на 1 %.

Длина свободного пробега и число столкновений молекул

10.47. Найти среднюю длину свободного пробега <l> молекул водорода при давлении p=0,1 Па и температуре Т=100 К.

10.48. При каком давлении р средняя длина свободного пробега <l> молекул азота равна 1 м, если температура Т газа равна 300 К?

10.49. Баллон вместимостью V=10 л содержит водород массой m=1 г. Определить среднюю длину свободного пробега <l> молекул.

10.64. Определить зависимость диффузии D от температуры Т при следующих процессах: 1) изобарном; 2) изохорном.

10.65. Определить зависимость диффузии D от давления р при следующих процессах: 1) изотермическом; 2) изохорном.

10.66. Вычислить динамическую вязкость h кислорода при нормальных условиях.

10.67. Найти среднюю длину свободного пробега <l> молекул, азота при условии, что его динамическая вязкость h=17 мкПа×с.

10.68. Найти динамическую вязкость h гелия при нормальных условиях, если диффузия D при тех же условиях равна 1,06×10-4 м2/с.


На главную