Приближённые вычисления с помощью дифференциала

Высшая математика Примеры рещения задач

     Пример 8.8   Найдём уравнение касательной плоскости к поверхности $ S$ , заданной уравнением $\displaystyle \frac{x^2}{2}-y^2-z=0,$

 

в точке $ M_0(2;-1;1).$ Вычислительная математика Ручные вычисления по методу Гаусса. В процессе ручных вычислений по методу Гаусса заполняется таблица, которая состоит из нескольких разделов, соответствующих определенным этапам вычислений.

Уравнение касательной плоскости к поверхности $ S=\{f(x;y;z)=0\}$ в точке $ M_0(x_0;y_0;z_0)\in S$ имеет вид

 

$\displaystyle f'_x(x_0;y_0;z_0)(x-x_0)+
f'_y(x_0;y_0;z_0)(y-y_0)+
f'_z(x_0;y_0;z_0)(z-z_0)=0.$

Находим частные производные и их значения в точке $ M_0$ :

 

$\displaystyle f'_x=x;\ f'_y=-2y;\ f'_z=-1;$

 

$\displaystyle f'_x(x_0;y_0;z_0)=2;\ f'_y(x_0;y_0;z_0)=2;\ f'_z(x_0;y_0;z_0)=-1.$

Поэтому искомое уравнение касательной плоскости имеет вид
$\displaystyle 2(x-2)+2(y+1)-(z-1)=0,$

или

 

$\displaystyle 2x+2y-z-1=0.$

Формула Тейлора для функции нескольких переменных

На главную