Лекции первого семестра по высшей математике

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ

Асимптоты плоской кривой

Определение 1. Если точка M(x; y) перемещается по кривой y = f(x) так, что хотя бы одна из координат точки стремится к ¥ и при этом расстояние от этой точки до некоторой прямой стремится к 0, то эта прямая называется асимптотой кривой y = f(x).

Асимптоты бывают двух видов: вертикальные и наклонные.

Аналитическая геометрия Каноническое уравнение гиперболы Типовые расчеты (курсовые задания) по математике

Определение 2. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если хотя бы один из односторонних пределов  или  равен +¥ или – ¥.

Замечание. Если прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), то в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода. Наоборот, если в точке x = a функция f(x) имеет разрыв второго рода, то прямая x = a является вертикальной асимптотой кривой y = f(x).

Определение 3. Прямая  называется наклонной асимптотой кривой  при  (или ), если функцию f(x) можно представить в виде:

,

где (x) – бесконечно малая функция при  (или ).

Теорема 1. Для того чтобы кривая y = f(x) имела наклонную асимптоту при  (или) необходимо и достаточно существования двух конечных пределов:

 и

Доказательство. Ограничимся случаем .

Необходимость. Пусть y = kx+b – наклонная асимптота при  кривой y = f(x). Тогда функцию f(x) представим в виде: [an error occurred while processing this directive]

, где  при .

Убедимся в существовании конечных пределов:

.

.

Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть существуют конечные пределы  и .

Тогда по свойству конечных пределов второй предел можно переписать в виде:

где (x) – бесконечно малая величина при .

Отсюда получаем:

,

где  при .

Достаточность доказана.

Пример 1. Найти асимптоты кривой .

Решение.

1) D(y) = (–¥;–1) È (–1;1) È (1;+ ¥).

2) Точки x = –1 и x = 1 являются точками разрыва второго рода, так как:

Поэтому прямые x = –1 и x = 1 являются вертикальными асимптотами.

3) Вычислим пределы:

, k = 1.

Отсюда следует, что при  прямая y = 1×x +0, т.е. y = x – наклонная асимптота при .

Найдём наклонную асимптоту при .

Вычисляя те же пределы при , получим k = 1 и b = 0, т.е. прямая y = x является наклонной асимптотой при .

Ответ: x = ± 1 – вертикальные асимптоты

 y = x – наклонная асимптота при x ® ±¥.

Монотонность функции

Определение 4. Функция y = f(x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке (a;b), если для любых x1 и x2, принадлежащих этому промежутку, из условия x2 > x1 следует неравенство:

f(x2) > f(x1) (f(x2) < f(x1)).

Определение 5. Функция y = f(x) называется монотонной на промежутке (a;b), если она на этом промежутке является только возрастающей или только убывающей.

Теорема 2 (достаточные условия монотонности). Если функция y = f(x) дифференцируема на промежутке (a;b) и f’(x) > 0 (f’(x) < 0) для любых x Î (a;b), то функция возрастает (убывает) на этом промежутке.

Доказательство. Возьмём любые два значения x1 и x2 из промежутка (a;b). Для определённости предположим, что x2 > x1.

На отрезке [x1;x2] функция y = f(x) непрерывна и дифференцируема (из условия теоремы). Следовательно, она удовлетворяет теореме Лагранжа на отрезке [x1; x2], т.е. существует хотя бы одна точка c Î (x1; x2), в которой выполняется равенство:

f(x2) – f(x1) = f' (c) × (x2 – x1).

Если f '(x) > 0 для любых xÎ(a;b), то f '(c) > 0. Поэтому f(x2) – f(x1) > 0, т.е. из условия x2 > x1 следует неравенство f(x2) > f(x1). А так как x1 и x2 –любые значения из промежутка (a;b), то функция y = f(x) возрастает на этом промежутке.

Если  для любых , то . Поэтому, то есть из условия x2 > x1 следует неравенство  f(x2) < f(x1). Так как x1 и x2 любые значения из промежутка (a;b), то функция  y = f(x) убывает на этом промежутке.

Теорема доказана.

Экстремумы функции

Определение 6. Функция y = f(x) имеет в точке x0ÎD(f) максимум ymax (минимум ymin), если существует такая окрестность точки x0, в которой для всех x выполняется неравенство:

f(x0) > f(x) (f(x0) < f(x)).

Определение 7. Точки максимума и минимума функции называются точками экстремума функции.

Теорема 3 (необходимое условие экстремума). Если функция y = f(x) имеет экстремум в точке x0, то в этой точке производная функции равна нулю или не существует.

Доказательство. 1)Для определённости рассмотрим случай, когда функция y = f(x) в точке x0 имеет максимум и в этой точке существует производная. Тогда из определения максимума для любого x, принадлежащего окрестности точки x0 f(x0) > f(x).

Отсюда следует, что для любого Dx ≠ 0 справедливо неравенство: f(x0+Dx) – f(x0) < 0. Разделим это неравенство на Dx, получим:

при Dx > 0:

при Dx < 0:

Перейдём к пределам:

Так как существует, то:

Аналогично рассматривается случай, когда x0 – точка минимума.

2) Если f '(x0) не существует или равна ¥, то точка x0 может быть точкой экстремума функции.

Например, функция y =  имеет минимум при x = 0, хотя y'(0) не существует (рис. 9).

Рис. 9

Теорема доказана.

Теорема 4 (достаточное условие экстремума). Если функция y = f(x) непрерывна в точке x0, дифференцируема в некоторой её окрестности, за исключением может быть самой этой точки, f’(x0) = 0 или не существует и при переходе x через точку x0 производная f '(x) изменяет знак, то точка x0 является точкой экстремума. Если при этом знак f '(x) меняется

 с + на –, то x0 – точка максимума,

с – на +, то x0 – точка минимума.

Доказательство. Пусть f '(x) при переходе x через точку x0 изменяет знак с 

+ на – , т.е. f '(x) > 0 при x Π(x0 – d; x0) и f '(x) < 0 при x Î (x0; x0 + d), где d > 0 (рис. 10).

Рис. 10

1) Пусть x Î (x0 – d; x0). На отрезке [x; x0] функция y = f(x) удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит, на интервале (x; x0) найдётся хотя бы одна точка c1, в которой выполняется равенство:

f(x) – f(x0) = f '(c1)×(x – x0),

 где c1Î (x0 – d; x0).

Так как f '(c1) > 0 и x – x0 < 0, то f(x) – f(x0) < 0. 

2) Пусть . На отрезке  функция  также удовлетворяет теореме Лагранжа. Значит на интервале (x0; x) найдётся хотя бы одна точка с2, в которой выполняется равенство:

f(x) – f(x0) = f’(c2)×(x – x0),

где c2 Î (x0; x0 + d).

Так как f '(c2) < 0 и x – x0 > 0, то f(x) – f(x0) < 0.

Следовательно, для любого x Î (x0 – d; x0 + d) выполняется неравенство: 

f(x0) > f(x).

Отсюда следует, что точка x0 является точкой максимума функции y = f(x). Аналогично рассматривается случай, когда при переходе x через точку x0 изменяет знак с – на +. При этом точка x0 является точкой минимума функции .

Теорема доказана.

Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в любой точке промежутка (a;b). Тогда она имеет конечную производную в любой точке этого промежутка. Значит, существует касательная к графику функции y = f(x) в любой его точке (x; f(x)) при a < x < b.

Определение 8. График функции y = f(x), дифференцируемой в каждой точке промежутка (a;b), называется выпуклым (вогнутым) на этом промежутке, если для любого x Î (a;b) график расположен не выше (не ниже) касательной к графику в точке (x; f(x)).

Теорема 5 (достаточное условие выпуклости или вогнутости кривой).

Пусть функция y = f(x) дважды дифференцируема на промежутке (a;b) и f ''(x) для x Î (a;b) сохраняет свой знак, тогда кривая y = f(x) выпуклая, если f ''(x) £ 0

при x Î (a;b), и кривая y = f(x) вогнутая, если f ''(x) ³ 0 при x Î (a;b).

Доказательство. Для определённости рассмотрим случай, когда f ''(x) ³ 0 для x Î (a;b). Обозначим x0 любую точку промежутка (a;b). Построим касательную к кривой y = f(x) в точке (x0; f(x0)): yкасат = f(x0) + f '(x0)∙(x – x0). Покажем, что график функции y = f(x) лежит не ниже этой касательной,

т.е. выполняется неравенство: (f(x) – yкасат(x)) ³ 0 для любого x Î (a;b) (рис.11).

f(x) – yкасат(x) = f(x) – (f(x0) + f '(x0)∙(x – x0)) =

 = f(x) – f(x0) – f '(x0)∙(x – x0) =  (f(x) – f(x0)) – f '(x0)∙(x – x0), (1)

 где x Î (a;b) .

Функция y = f(x) на отрезке [x0;x] удовлетворяет условию теоремы Лагранжа, т.е. на отрезке [x0;x] найдётся хотя бы одна точка c1, для которой

выполняется равенство:

f (x) – f(x0) = f '(c1)∙(x – x0).

Рис. 11

Подставим в равенство (1) полученное соотношение.

 f(x) – yкасат(x) = f '(c1)(x– x0) – f ' (x0)(x – x0) = (x – x0)×(f ' (c1) – f ' (x0)). (2) Функция f '(x) на отрезке [x0;c1] удовлетворяет условию теоремы Лагранжа, т.е. на промежутке (x0;c1) найдётся хотя бы одна точка с2, для которой выполняется равенство:

f '(c1) – f '(x0) = f ''(c2)(c1 – x0).

Подставим в равенство (2) полученное соотношение:

 f(x) – yкасат(x) = (x – x0)×f ''(c2)∙(c1 – x0). (3)

Если x > x0, то c1 > x0 и c2 > x0, т.е. x – x0 > 0 и с1 – x0 > 0.

По предположению f ''(x) ³ 0. Тогда f(x) – yкасат(x) ³ 0.

Если x < x0, то c1 < x0 и c2 < x0, т.е. x – x0 < 0 и c1 – x0 < 0. Тогда f(x) – yкасат(x) ³ 0.

Следовательно, при любом x Î (a;b) выполняется неравенство:

f(x) – yкасат(x) ³ 0,

т.е. на промежутке (a,b) график функции y = f(x) вогнутый.

Аналогично можно доказать, что если f ''(x) £ 0 при любом x Î (a;b), то кривая y = f(x) на промежутке (a;b) будет выпуклой.

Теорема доказана.

Определение 9. Пусть в точке (x0; f(x0)) существует касательная. Тогда точка (x0; f(x0)), отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой (или наоборот) называется точкой перегиба графика функции y = f(x).

Теорема 6 (достаточное условие точки перегиба). Если функция y = f(x) дважды дифференцируема в окрестности точки x0, вторая производная функции f ''(x0) = 0 (или не существует) и f ''(x) меняет свой знак при переходе x через точку x0, то точка (x0; f(x0)) – точка перегиба кривой y = f(x).

Доказательство. Для определенности рассмотрим случай, когда f ''(x) при переходе через точку x0 изменяет знак с + на –.

Тогда в левой полуокрестности точки x0 f ''(x) > 0, т. е. кривая при x < x0 вогнутая, а в правой полуокрестности точки x0 f ''(x) < 0, т. е. кривая при x > x0 выпуклая.

Следовательно, точка (x0; f(x0)) по определению является точкой перегиба графика функции y = f(x).

Аналогично рассматривается другой случай, когда f ''(x) при переходе

через точку x0 изменяет знак с – на +.

Теорема доказана.

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Пусть функция y = f(x) определена на отрезке [a;b].

Определение 10. Число f(c) называется наибольшим (наименьшим) значением функции y = f(x) на отрезке [a;b] и обозначается  (), если для любого x Π [a;b] выполняется неравенство:

f(x) £ f(c) (f(x) ³ f(c)) .

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по свойству непрерывной на отрезке функции она достигает своих наибольшего и наименьшего значений.

Схема нахождения этих значений следующая:

1) Найти все точки, в которых f '(x) = 0 (или не существует). Причём выбрать те точки из полученных, которые попадают на отрезок [a;b].

2) Вычислить значения функции в полученных точках в п.1.

3) Вычислить значения функции в граничных точках отрезка [a;b]: f(a) и f(b).

4) Из значений п.2 и п.3 найти наибольшее число M и наименьшее m.

Тогда  

Схема исследования функции. Построение графика

1) Найти область определения функции y = f(x) – множество D(f) тех значений x, при которых функция y = f(x) имеет смысл.

2) Исследовать функцию на периодичность: выяснить, существует ли наименьшее положительное число T такое, что f(x+T) = f(x) для любого xÎ D(f). Если «да», то целесообразно далее исследовать функцию и строить её график только на некотором отрезке длиной периода T. Затем продолжить график на всю область определения, разбивая её на интервалы длины T, в которых повторяется картинка графика.

3) Исследовать функцию на чётность и нечётность: выяснить, выполняются ли равенства:

f(– x) = f(x) для любого xÎ D(f) – чётность

или 

f(– x) = – f(x) для любого xÎ D(f) – нечётность.

Это позволяет узнать, есть ли симметрия графика: относительно оси Oy – чётная или относительно начала координат – нечётная.

4) Найти точки пересечения графика функциис осями координат:

с осью Oy: точка (0; f(0)), если 0 Î D(f),

с осью Oх: точка (xk; 0), где xkÎ D(f) и является решением уравнения f(x) = 0.

5) Найти промежутки знакопостоянства: выяснить, при каких x Î D(f) выполняются неравенства f(x) > 0 (график функции расположен выше оси Ox) и f(x) < 0 (график функции расположен ниже оси Ox).

6) Исследовать функцию на непрерывность, установить тип точек разрыва (см. §3, п.2, с. 19).

7) Найти вертикальные и наклонные асимптоты (см. §6, п.1, с. 43).

8) Найти промежутки убывания и возрастания, экстремумы функции (см. §6, п.2, с. 45 и п.3, с. 46).

9) Найти множество E(f) значений функции.

10) Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика (см. §6, п.4, с. 49).

11) Построить график функции, используя свойства, установленные в проведенном исследовании. Если в некоторых промежутках график остался неясным, то его уточняют по дополнительным точкам.

Пример. Исследовать функцию y = (x + 2)e–x и построить её график.

1) D(y) = R.

2) Функция не периодическая.

3) Так как y(–x) ≠ y(x) и y(–x) ≠ –y(x), то функция общего вида, не является ни чётной, ни нечётной.

4) Точка пересечения графика с осью Ox : (– 2; 0), с Oy : (0; 2)

5) При x Î (–¥; –2) функция отрицательная, при x Î (–2; +¥) функция положительная.

6) Функция непрерывна при x Î R.

7) Вертикальных асимптот нет. Наклонные асимптоты: y = kx + b.

а)

  k = 0 при x ® +¥

 

 b = 0 при .

Следовательно, y = 0 – наклонная (горизонтальная) асимптота при .

б)  

 при  наклонной асимптоты нет.

8) f '(x) = ((x + 2)e– x) ' = 1×e– x+(x + 2)×(–e–x) = e–x(1 – x – 2) = –(x + 1)e– x.

 D(y') = R.

 y ' = 0: – (x+1)e– x = 0 Þ x = – 1, f(–1) = 1×e1 = e.

при x Î (– ¥;– 1) f(x) возрастает,

при x Î(– 1;+¥) f(x) убывает,

при x = –1 fmax (– 1) = (– 1+2)e– (– 1) = e.

9) E(f) = (–¥; e), так как

и fmax (–1) = e.

10) f ''(x) = (– (x + 1)e– x) ' = – 1e– x + (x + 1)e–x = e– x(x + 1 – 1) = xe–x.

D(f '') = R

f '' (x) = 0 : xe– x = 0 Þ x = 0, f(0) = 2.

при x Î (– ¥;0) график f(x) выпуклый

при x Î (0;+¥) график f(x) вогнутый

Точка (0;2) – точка перегиба графика.

11) Результаты проведенного исследования cведём в таблицу и построим график (рис. 12)

Таблица

Результаты исследования функции y = (x + 2)e – x

x

(– ¥;– 1)

– 1

(– 1;0)

0

(0;+¥)

знак f ' (x)

+

0

знак f '' (x)

0

+

F(x)

e

2

Рис. 12

 

 

На главную