Числовые ряды Степенные ряды

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ

Непрерывность функции в точке и на промежутке

Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x0 и предел f(x) в точке x0 равен значению функции в этой точке, т.е.

.

Замечание. Из определения 1 следует правило вычисления предела функции в точке её непрерывности:

т.е. предел функции в точке её непрерывности равен значению функции в этой точке.

Определение 2. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и бесконечно малому приращению аргумента  соответствует бесконечно малое приращение функции , т.е. . [an error occurred while processing this directive]

Определение 3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности этой точки и существует правый и левый предел f(x) в точке, причём они равны между собой и равны значению функции в этой точке, т.е.

а) ;

б) ;

в) .

Определение 4. Функция f(x) называется непрерывной на промежутке, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

Теоремы о непрерывных функциях

Теорема 8. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x0 , то функции с×f(x) (c=const), f(x) ± g(x), f(x)×g(x) и  (если g(x) ¹ 0) также непрерывны в точке x0.

Теорема 9. Если функция u = u(x) непрерывна в точке x0 и функция y = f(u) непрерывна в точке u0 = u(x0), то сложная функция y = f(u(x)) непрерывна в точке x0.

Теорема 10. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке области их определения.

Точки разрыва функции и их классификация

Определение 5. Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция либо не определена, либо определена, но нарушено хотя бы одно из условий определения 3 непрерывности f(x).

Определение 6. Точка x0 называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но f(x) в точке x0 либо не определена, либо имеет значение f(x0), не совпадающее с найденным пределом:

f(x0 – 0) = f(x0 + 0) ¹ f(x0).

Определение 7. Точка x0 называется точкой разрыва первого рода функции f(x) (разрыв типа «скачка»), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные между собой правый и левый пределы, т.е.

f(x0 – 0) ¹ f(x0 + 0).

Определение 8. Точка x0 называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке функция не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Примеры. Исследовать функции на непрерывность и точки разрыва.

1.

Решение. На промежутке (–∞; –1) , на промежутке (–1;1) и на промежутке (1;+∞) .

На этих промежутках элементарная функция f(x) непрерывна при всех x, принадлежащих этим промежуткам. Необходимо проверить непрерывность в точках x = –1 и x = 1.

2)

Получили, что f(–1–0) ¹ f(–1+0) => x = –1 – точка разрыва функции f(x) I рода.

3)

4)

Получили, что f(1 – 0) = f(1 + 0) = f(1) = 0 => x = 1 – точка непрерывности функции f(x).

Ответ: f(x) непрерывна на промежутках (–∞;–1) и на (–1;+∞), точка x = –1 – точка разрыва функции f(x) I рода.

2. f(x) =

Решение. На промежутках (–∞;0) и на (0;+∞) функция f(x) непрерывна. Исследуем точку x = 0 Ï D(f).

 x = 0 – точка разрыва функции f(x) II рода.

 

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение производной, её геометрический и механический смысл

Пусть дана функция , определённая на множестве D(f). Рассмотрим точку xÎD(f) и некоторое число Dx – такое, чтобы точка x+DxÎD(f). Это число Dx называется приращением аргумента x.

Определение 1. Приращением функции  называется разность f(x+Dx) – f(x). Приращение функции  обозначают Dy, т.е. Dy = f(x+Dx) – f(x).

Определение 2. Производной функции  называется предел отношения приращения функции Dy к приращению аргумента Dx, если приращение аргумента Dx стремится к нулю и этот предел существует. Производную функции  обозначают: или . Поэтому можно записать:

Пример. Исходя из определения найти производную функции у =.

Решение.

 Dy= f(x+ Dx) – f(x) = =.

.

Ответ: .

Механический смысл производной

Пусть материальная точка движется по прямой по закону S = S(t),

тогда DS = S(t+Dt) – S(t) – расстояние, пройденное за время Dt и средняя скорость движения:

.

Чтобы найти скорость движения в момент времени t, надо рассмотреть предел  при Dt ® 0:

V(t) = .

Следовательно, производная от пути S(t) равна мгновенной скорости точки в момент времени t :

.

Геометрический смысл производной

Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки М0 (рис. 5).

Точка M0(x0;y(x0)) – фиксированная точка графика . Точка M(x0+Dx; y(x0+Dx)) при различных значениях Dx – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M0 (при этом Dx ® 0), то секущая линия M0M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M0.

Рис. 5

Рассмотрим треугольник M0MA: tg j = , j – угол наклона секущей M0 M к оси Ox.

Перейдем к пределу при Dx ®0:

j = ,

где – угол наклона касательной к оси Ox.

Таким образом, y' (x0) = tg частное значение производной функции  в точке x0 равно угловому коэффициенту касательной, проведённой к линии y = f(x) в точке M0(x0; y(x0)). Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0(x0;y0) с известным угловым коэффициентом Kкас = y'(x0), можно записать уравнение касательной к линии y = f(x) в точке M0(x0; f(x0)):

y = f(x0) + f ' (x0) × (x – x0).

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M0(x0;f(x0)):

y = f(x0) –,

используя условие перпендикулярности прямых:

Примеры вывода производных некоторых элементарных функций

1)  

Вывод: ;

2) ;

Вывод:  

3)

Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

4)  

Вывод: так как ln x = log e x, то, используя производную, для (log a x), можно записать:

 .

5) (c)' = 0

Вывод: y = c, Dy = y(x+Dx) – y(x) = c – c = 0 .

Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

Таблица производных основных элементарных функций

(c)' = 0

(xa)' = a×xa – 1

(ax)' = ax×ln a, (a > 0, a ≠ 1)

(ex)' = ex

(loga x)' = , (a > 0; a ≠ 1)

(ln x)' =

(sin x)' =cos x

(cos x)' = – sin x

(tg x)' =

(ctg x)' = –

(arcsin x)' =

(arccos x)' = –

(arctg x)' =

(arcctg x)' =

Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции

Определение 3. Функция y = f(x) называется дифференцируемой в точке xÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и её приращение в этой точке можно представить в виде:

Dx = A×Dx + (Dx)×Dx,

где A = A(x) – не зависит от Dx; (Dx) – бесконечно малая величина при Dx®0, т.е.

Теорема 1 (связь дифференцируемости с существованием производной)

Функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f '(x). При этом f '(x) = A.

Доказательство.

1) Необходимость: Дано: y = f(x) дифференцируема в точке х.

 Доказать: A = f '(x).

Так как функция y = f(x) дифференцируема в точке х, то по определению

Dy = A × Dx + (Dx) × Dx,

где (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Разделим это равенство на Dx ≠ 0:

.

Перейдём к пределу при Dx ® 0:

 существует, а значит f '(x) = A.

Необходимость доказана.

2) Достаточность: Дано: f ' (x) – существует

 Доказать: f(x) дифференцируема.

Так как существует f '(x)=, то по свойству предела можно записать:

,

где (Dx) ® 0 при D x® 0.

Умножим это равенство на Dx:

Þ функция y = f(x), дифференцируема в точке х.

Достаточность доказана.

Теорема 2 (связь дифференцируемости с непрерывностью функции)

Если функция y = f(x) дифференцируема в точке xÎD(f), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то её приращение в этой точке можно представить в виде:

Dy = A × Dx + (Dx) × Dx,

где A = f '(x) и (Dx) ® 0 при Dx ® 0.

Найдём предел от Dy при Dx ® 0:

Отсюда следует, что по определению 2 непрерывности функции в точке функция y = f(x) непрерывна в точке x.

Замечание. Обратное теореме 2 утверждение не всегда верно.

Правила дифференцирования

Теорема 3. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то функция U(x) ± V(x) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(U(x) ± V(x))' = (U(x))' ± (V(x))'.

Доказательство: Рассмотрим функцию y = U(x) ± V(x).

Тогда Dy = DU ± DV. Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

так как по условию теоремы функции U(x) и V(x) дифференцируемы.

Значит, (U(x) ± V(x))' = U '(x) ± V '(x).

Теорема доказана.

Теорема 4. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)×V(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

(U(x) × V(x))' = (U(x))'× V(x) + U(x) × (V(x))'.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Dy = (U+DU)(V+DV) – U×V = U×V + U×DV + V×DU + DU×DV – U×V=

= U×DV + V×DU + DU×DV.

Разделим Dy на Dx и перейдем к пределу при Dx ® 0:

так как по условию функции U(x) и V(x) дифференцируемы, а значит ,  и .

Следовательно,

(U(x)× V(x))' = U ' (x) × V(x) + U(x) × V ' (x).

Теорема доказана.

Следствия:

а) Если U(x), V(x) и W(x) дифференцируемы в точке х, то функция (U(x)×V(x) ×W(x)) дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

(U×V×W)' = U '×V×W + U×V '×W + U×V×W '.

б) Производная постоянной, умноженной на дифференцируемую функцию, равна этой постоянной, умноженной на производную функции:

(C×U(x))' = C×U ' (x).

Теорема 5. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке х и V(x) ≠ 0, то функция  дифференцируема в точке х и её производная вычисляется по формуле:

.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Найдём её приращение

Разделим Dy на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

,

Значит,

.

Теорема доказана.

Теорема 6 (производная сложной функции). Если функция f(u) дифференцируема в точке u, а функция u(x) дифференцируема в точке x, причём u = u(x), тогда сложная функция f(u(x)) дифференцируема в точке x и её производная вычисляется по формуле:

(f (u(x)))' = f '(u) ×u' (x).

Доказательство. Рассмотрим функцию y = f(u). Так как функция f(u) дифференцируема в точке u, то её приращение можно записать в виде:

,

где .

Разделим на Dx и перейдём к пределу при Dx ® 0:

 

Если D x® 0, то D u® 0, так как u(x) дифференцируема, а значит непрерывна, т.е.

 (f(u(x)))' = f ' (u) ×u' (x).

Теорема доказана.

Дифференцирование функции, заданной неявно

Пусть функция  задана неявно уравнением . Дифференцируя это равенство по x по правилу дифференцирования сложной функции, находим из полученного равенства y'.

Пример. Найти y', если функция y задана уравнением:

x3 + y3 – xy = 0

Решение.

3x2 + 3y2×y’ – y – xy’ = 0

y’(3y2 – x) = y – 3x2

Ответ: .

 
Высшая математика - лекции, курсовые, типовые задания, примеры решения задач