Курс лекций математического анализа

 


ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3
§ 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ 3
1. Определение функции одной переменной 3
2. Способы задания функции 3
3. Сложная и обратная функции 3
4. Элементарные функции 3
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 3
1. Предел функции в конечной точке x0 3
2. Односторонние пределы 3
3. Предел функции на бесконечности 3
4. Бесконечно малые и бесконечно большие функции 3
5. Основные теоремы о конечных пределах 3
6. Первый замечательный предел 3
7. Второй замечательный предел 3
§ 3. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 3
1. Непрерывность функции в точке и на промежутке 3
2. Точки разрыва функции и их классификация 3
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3
1. Определение производной, её геометрический и механический смысл …….3
2. Примеры вывода производных некоторых элементарных функций 3
3. Таблица производных основных элементарных функций 3
4. Дифференцируемость функции. Связь дифференцируемости с существованием производной и непрерывностью функции 3
5. Правила дифференцирования 3
6. Дифференцирование функции, заданной неявно 3
7. Производные показательной и степенной функций 3
8. Производные обратных тригонометрических функций 3
9. Дифференциал функции 3
10. Производные и дифференциалы высших порядков 3
§ 5. СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА ОТРЕЗКЕ……...37

Решение типового задания по теме ряды Вычислить сумму ряда . Указание: применить формулу Парсеваля к функции f (x) = x
1. Теорема Ролля 3
2. Теорема Лагранжа 3
3. Теорема Коши 3
4. Правило Лопиталя 3
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 3
1. Асимптоты плоской кривой 3
2. Монотонность функции 3
3. Экстремумы функции 3
4. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции 3
5. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке 3
6. Схема исследования функции. Построение графика 3
ГЛАВА 2. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 3
§ 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 3
1. Первообразная функция и её свойства 3
2. Понятие неопределённого интеграла 3
3. Свойства неопределённого интеграла 3
4. Таблица основных неопределённых интегралов 3
§ 2. МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 3
1. Непосредственное интегрирование 3
2. Интегрирование подстановкой 3
3. Интегрирование по частям 3
4. Интегрирование рациональных дробей 3
5. Интегрирование тригонометрических выражений 3
6. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений 3
§ 3. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ 3
1. Задача, приводящая к определённому интегралу 3
2. Свойства определённого интеграла 3
3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница …....3
4. Методы интегрирования определённого интеграла 3
5. Приложения определённого интеграла 3
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 3
1. Интегралы с бесконечными пределами 3
2. Интегралы от разрывных функций 3

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. Определение функции одной переменной
Определение. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу x из множества X по некоторому правилу f соответствует единственный элемент y из множества Y, то говорят, что на множестве X определена функция y = f(x) с областью определения X = D(f) и областью изменения Y = E(f). При этом x считают независимой переменной, или аргументом функции, а y - зависимой переменной или функцией.
Частным значением функции y = f(x) при фиксированном значении аргумента x = x0 называют y0 = f(x0).
Графиком функции y = f(x) называют геометрическое место точек M(x;f(x)) на плоскости Oxy, где x D(f) и f(x) E(f).

2. Способы задания функции
1) Аналитический способ - способ задания функции с помощью формулы.
Различают несколько способов аналитического задания функции:
а) Функция задана явно формулой y = f(x).
Например: , где D(y) = (- ?;1) (1;+?).
б) Функция задана неявно уравнением, связывающем x и y: F(x;y) = 0.
Например: - уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом r. Если из этого уравнения выразить y через x, то получится две функции:
и ,
которые имеют область определения , а области значений этих функций будут: для первой - , для второй - .
в) Функция задана параметрически с помощью некоторого параметра t, причём и аргумент x, и функция y зависят от этого параметра:

Например: можно задать окружность с помощью параметрических уравнений:

2) Табличный способ задания функции - например, таблицы Брадиса задают функции y = sin x, y = cos x и др.
3) Графический способ задания функции, когда зависимость функции от её аргумента задаётся графически.

3. Сложная и обратная функции
Определение 1. Пусть функция y = f(U) определена на множестве D(f), а функция U = g(x) определена на D(g), причём E(g) D(f).
Тогда функция y = F(x) = f(g(x)) называется сложной функцией (или функцией от функции, или суперпозицией функций f и g ).
Определение 2. Пусть задана функция y = f(x) взаимно однозначно отображающая множество X = D(f) на множество Y = E(f).
Тогда функция x = g(y) называется обратной к функции y = f(x), т. е. любому y E(f) соответствует единственное значение x D(f), при котором верно равенство y = f(x).
Замечание. Графики функций y = f(x) и x = g(y) представляют одну и ту же кривую. Если же у обратной функции независимую переменную обозначить x, а зависимую y, то графики функций y = f(x) и y = g(x) будут симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов.

На главную