Курс лекций Векторная алгебра. Теория и примеры

Векторная алгебра

Дан параллелепипед . Принимая за начало координат вершину , а за базисные векторы ,  и , найдите координаты:
а) вершин ;
б) точек  и  – середин ребер  и СС1 соответственно.

Решение.

 

 

Будем считать базисные вектора единичными, т.е.

Тогда

 

 Определите координаты точки , если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.

Решение.

Направляющие косинусы вектора  определяются выражениями

 (1)

По условию

 (2)

Направляющие косинусы вектора обладают свойством:

 (3) 

Подставим соотношения (1) в (3), учитывая равенство координат вектора и то что модуль вектора равен 3, получим

Следовательно точка М может иметь координаты  или

 Даны векторы , , . Вычислите направляющие косинусы вектора .

Решение.

Вычислим координаты вектора

Найдем направляющие косинусы вектора.

 , . Вычислите: а) ;

 б) .

Решение.

а). Перемножим векторы  и  как многочлены скалярно, получим

б) Перемножим векторы  и  как многочлены векторно, получим

 Найдите скалярное и векторное произведение векторов  и .

Решение.

- скалярное произведение.

-векторное произведение.

 . Вычислите .

Решение.

 Покажите, что четырехугольник  – ромб, если , , , . Найдите угол при вершине ромба.

Решение.

  У ромба все стороны равны, а диагонали перпендикулярны.

Найдем длины сторон – модули векторов

Убедимся в перпендикулярности диагоналей  и . Для этого найдем их скалярное произведение

Равенство нулю скалярного произведения ненулевых векторов доказывает их перпендикулярность.

Угол при вершине ромба – это угол между двумя векторами

 Параллелограмм  построен на векторах , . Точка  – середина стороны . Найдите угол между  и диагональю .

Решение.

Найдем вектор .

Найдем вектор

Найдем угол между векторами  и

 Вычислите площадь треугольника с вершинами А(1,1,1), В(2,3,4), С(4,3,2).

Решение.

Построим на сторонах треугольника два вектора и найдем их координаты.

.

Площадь треугольника равна

Найдем векторное произведение векторов.

 

 

 

Убедитесь, что векторы ,  могут быть взяты за ребра куба. Найдите третье ребро .

Решение.

Ребра куба должны иметь равные длины и быть перпендикулярными, т.е. скалярное произведение данных векторов должно равняться нулю..

Третье ребро должно иметь ту же длину, равную 5 и быль перпендикулярным заданным векторам, а значит идти в направлении их векторного произведения.

Установите, образуют ли векторы , ,  базис в пространстве всех векторов, если:
а) , , ;
б) , , .

Решение.

Векторы образуют базис, если они все не лежат в одной плоскости, т.е. не компланарны, а значит их смешенное произведение не равно нулю.

 а).  -векторы не образуют базис.

 в). - векторы базис образуют.

Вычислите объем тетраэдра с вершинами в точках , , , .

Решение.

Запишем координаты векторов  

Объем тетраэдра равен

При каком значении  векторы  будут компланарны: , , ?

Решение.

Условие компланарности – смешанное произведение векторов равно нулю.

  

Векторы компланарны при любом значении

Упростите выражение .

Решение.

Даны три вектора: , , . Вычислите .

Решение.

При каком значении  четырехугольник с вершинами   является трапецией?

Решение.

 

Векторы  - коллинеарные, следовательно их координаты пропорциональны

Векторы имеют координаты:

 

 

Найдите вектор , удовлетворяющий условиям , .

Решение.

Окончательно имеем 

 
На главную