Аналитическая геометрия, находение корней, плоскости и поверхности

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

- Закрепленные и свободные вектора. Коллинеарность и компланарность.
- Линейные операции, линейные комбинации и линейная зависимость векторов. Необходимое и достаточное условие линейной зависимости.
- Условия линейной зависимости векторов на плоскости и в пространстве Базис. Раз-ложение по базису. Координаты вектора. Аффинная система координат и координаты точки. Ортонормированный базис и прямоугольная система координат.
- Деление отрезка в данном отношении.
- Скалярное произведение и его свойства.
- Ориентированная площадь параллелограмма относительно базиса и ее свойства, ори-ентация пары и ее геометрический смысл. Ориентированный объем параллелепипеда от-носительно ортонормированного базиса, ориентация тройки. Лемма о непрерывной зави-симости коэффициентов при вращении и растяжении.
- Необходимое и достаточное условие положительной ориентации одного базиса про-странства относительно другого, связанное с деформацией. Геометрическое следствие.
- Задание ориентации. Ориентированный объем в ориентированном пространстве. Векторное и смешанное произведение, связь с ориентированным объемом в ориентиро-ванном пространстве и свойства.
- Векторное и смешанное произведение в прямоугольных координатах. Связь ориентированного объема относительно базиса с ориентированным объемом в ориентированном пространстве.
- Формула двойного векторного произведения и тождество Якоби.
- Прямая на плоскости. Параметрические уравнения. Прямая как кривая первого по-рядка. Необходимое и достаточное условие задания одной прямой в фиксированной сис-теме координат двумя уравнениями. Нахождение векторов, параллельных прямой. Взаим-ное расположение двух прямых.
- Полуплоскости, связанные с линейным уравнением.
- Пучок прямых на плоскости. Условие принадлежности прямой пучку.
- Нормальный вектор и расстояние от точки до прямой в прямоугольных координатах. Нормальное уравнение, отклонение.
- Угол между прямыми на плоскости, связь с полуплоскостями.
- Параметрические и общее уравнения плоскости. Полуплоскости. Условие парал-лельности вектора плоскости. Условия взаимного расположения.
- Пучок плоскостей. Условие принадлежности плоскости пучку.
- Связка плоскостей. Условие принадлежности плоскости связке.
- Нормальный вектор, расстояние от точки до плоскости.
- Параметрические и канонические уравнения прямой в пространстве. Прямая как пе-ресечение двух плоскостей, формула для направляющего вектора.
- Четыре формулы для прямых в пространстве в прямоугольной системе координат.
- Замены координат, матрица перехода. Формулы замены координат. Координаты век-торов. Композиции замен.- Прямоугольные системы координат и ортогональные матри-цы. Их свойства. Двумерные ортогональные матрицы.
- Углы Эйлера и трехмерные специальные ортогональные матрицы.
- Полярные, сферические и цилиндрические координаты.
- Геометрическое определение эллипса, гиперболы и параболы.
- Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения.
- Оптические (фокальные) свойства коник.
- Аналитические определения коник.
- Директориальные свойства коник. Фокальный параметр. Полярные уравнения коник.
- Канонические уравнения кривых второго порядка. Квадрики. Теорема о приведении к каноническому виду.
- Инварианты многочлена второй степени. Определение типа квадрик.
- Семиинвариант. Единственность канонического уравнения и его нахождение.
- Распадающиеся кривые.
- Теоремы единственности для кривых второго порядка.
- Теорема Паскаля. "Построение" кривой второго порядка по пяти заданным точкам.
- Пересечение кривой второго порядка с прямой. Асимптотические направления. Ин-вариантность определения.
- Пересечение прямых асимптотического и неасимптотического направления с кривой. Типы кривых, связанные с наличием асимптотических направлений.
- Диаметр, сопряженный неасимптотическому направлению. Диаметры параболы.
- Центр и его уравнения. Наличие центров: условия. Взаимное расположение центров и диаметров.
- Взаимно сопряженные диаметры и направления. Диаметры кривой с единственным центром.
- Главные диаметры и оси симметрии. Связь с собственными векторами.
- Нахождение вида и расположения кривых второго порядка.
- Касательные к кривым второго порядка.
- Поляра точки относительно коники. Связь с касательными. Независимость от систе-мы координат.
- Теорема о связи поляры с двумя секущими. Двойственность. Теорема Брианшона.
- Аффинные преобразования плоскости и пространства. Их запись в координатах. Не-зависимость определения от выбора системы координат. Действие на векторы. Геометри-ческие свойства.
- Изометрические преобразования плоскости и пространства. Их свойства и различные определения. Теорема Шаля.
- Лемма о собственном векторе трехмерной матрицы. Теорема о геометрических видах изометрий пространства.
- Метрическая классификация существенных квадрик на плоскости. Сильная метриче-ская классификация.
- Аффинная классификация существенных квадрик на плоскости. Сильная аффинная классификация квадрик. Метод Лагранжа.
- Поверхности второго порядка: определение и теорема о приведении к каноническо-му виду.
- Единственность канонического уравнения поверхности.
- Эллипсоид. Его сечения. Гиперболоиды и их свойства. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.
- Асимптотические направления поверхности. Инвариантность определения. Связь с прямолинейными образующими.
- Параболоиды и их свойства. Прямолинейные образующие гиперболического парабо-лоида.
- Конус. Коническая поверхность над кривой. Коническая поверхность над эллипсом. Цилиндры и их образующие.
- Пересечение прямых асимптотического и неасимптотического направления с по-верхностью второго порядка. Сопряженная диаметральная плоскость. Главные направле-ния, нахождение их методом собственных векторов, сопряженная плоскость как плоскость симметрии (без доказательства).
- Уравнения центра поверхности. Центральные поверхности. Главные направления, нахождение их методом собственных векторов, сопряженная плоскость как плоскость симметрии (без доказательства).
- Касательная прямая и касательная плоскость к поверхности второго порядка. Связь последней с прямолинейными образующими.
- Аффинная и метрическая классификация пространственных квадрик.
- Пополненная плоскость, связка прямых, перспективное соответствие, однородные координаты.
- Принцип двойственности. Теорема Дезарга.
- Проективные преобразования. Фундаментальная четверка.
- Проективно-аффинные преобразования.
- Проективная прямая. Простое и двойное отношение. Инвариантность последнего. Определение проективного преобразования по трем точкам.
- Кривые второго порядка на проективной плоскости и их классификация.

Литература
1. Александров П.С. Лекции по аналитической геометрии. М., Наука, 1968.
2. Веселов А.П., Троицкий Е.В. Лекции по аналитической геометрии. М., изд-во МГУ, 2002.
3. Постников М.М. Аналитическая геометрия. М., Наука, 1979.

 
На главную