Интегрирование и дифференцирование, матрицы Лекции и задачи

2 курс, 3 семестр.
Числовые ряды. Критерий Коши сходимости ряда. Операции над рядами. Абсолютная и условная сходимости. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости: огра-ниченность частичных сумм, сравнения. Признаки де Аламбера, Коши, интегральный Коши-Маклорена, Куммера, Раабе и Гаусса. Ряды с членами произвольных знаков и ряды комплексных чисел. Признак Лейбница. Преобразование Абеля. Последовательности ог-раниченной вариации и их свойства. Признаки Абеля и Дирихле.
Теоремы Коши и Римана о перестановках членов ряда. Умножение числовых рядов. Теоремы Коши и Мертенса. Бесконечные произведения. Условия сходимости. Разложение функции в бесконечное произведение. Метод суммирования Чезаро (средних ариф-метических), его вполне регулярность и необходимое условие суммируемости. Метод суммирования Абеля. Теорема Фробениуса о суммируемости методом Абеля рядов, сум-мируемых по Чезаро. Вполне регулярность метода Абеля.
Критерий Маркова-Гордона перестановки предельных переходов. Функциональные по-следовательности и ряды. Равномерная сходимость. Операции с равномерной сходимостью. Критерий Коши равномерной сходимости. Признаки Вейерштрасса, Дини, Лейбница, Абеля и Дирихле равномерной сходимости. Теорема об изменении порядка пределов и следствия из неё. Полнота пространства C(K) непрерывных на компакте функций. Почленное диффе-ренцирование и интегрирование функциональных последовательностей и рядов.
Критерий компактности Хаусдорфа. Равностепенная непрерывность. Теорема Ар-целя-Асколи. Степенные ряды. Теорема Коши-Адамара. Непрерывность, дифференци-руемость и интегрируемость суммы степенного ряда. Степенной ряд как ряд Тейлора своей суммы. Теорема единственности. Теорема Абеля. Функции комплексного пере-менного. Формула Эйлера.
Пример непрерывной нигде не дифференцируемой функции.
Функции, зависящие от параметра; равномерное стремление к пределу; связь с равно-мерной сходимостью последовательностей. Критерий Коши. Свойства равномерной схо-димости. Перестановка пределов, дифференцирование и интегрирование пределов функ-ций, зависящих от параметра.
Собственные интегралы с параметром. Их свойства: переход к пределу, непрерыв-ность, дифференцируемость и интегрируемость.
Несобственные интегралы с параметром, их равномерная сходимость. Критерий Коши. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Дини, Абеля и Дирихле. Свойства не-собственных интегралов с параметром: переход к пределу, непрерывность, дифференци-руемость, интегрируемость (собственная и несобственная). Интеграл Дирихле.
Интегралы (функции) Эйлера, их свойства. Связь бетта и гамма функций. Формула до-полнения гамма-функции. Интеграл Пуассона. Формула Стирлинга.
Пространства со скалярным произведением. Ортогональные системы. Экстремальное свойство коэффициентов Фурье. Тождество Бесселя и неравенство Бесселя. Ортогональ-ные системы и ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье. Замкнутость, равенство Парсеваля-Ляпунова, полнота; связь этих понятий.
Свёртка и её свойства. Аппроксимативная единица (?-образная последовательность) и теорема о ней. Примеры. Теоремы Вейерштрасса о приближении полиномами и тригоно-метрическими многочленами.
Пространство l2, его полнота.
Измеримые функции и их свойства. Теорема Егорова. Измеримость интегрируемых по Курцвейлю-Хенстоку функций. Эквивалентность интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока на ограниченных функциях. Неравенство Чебышёва и теорема Б. Леви (о пре-дельном переходе) для интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока. Критерий интегри-руемости неотрицательных измеримых функций и следствия из него. Эквивалентность интегралов Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока на неотрицательных функциях.
Пространство его полнота. Замкнутость системы многочленов Лежандра в и тригонометрической системы в Тригонометрические ряды Фу-рье и их свойства: линейность, инвариантность относительно сдвигов, симметрий, сжатий, дифференцирования; ряд Фурье свёртки, равенство Парсеваля-Ляпунова, почленная ин-тегрируемость. Стремление к нулю коэффициентов Фурье интегрируемых по Мак-Шейну функций. Представление частичных сумм. Ядро Дирихле. Признак Дини и следствия из него. Принцип локализации Римана. Признак Дирихле-Жордана. Суммирование тригоно-метрических рядов методами Чезаро-Фейера и Абеля-Пуассона.
2 курс, 4 семестр.
Брусы и простые множества в , их мера и её свойства. Мера Жордана. Измеримые множества и их свойства. Кратный интеграл Римана, его определение и простейшие свой-ства. Связь интегрируемости по Риману и ограниченности. Суммы Дарбу и их свойства. Критерий интегрируемости Дарбу. Множества меры нуль по Лебегу. Критерий интегри-руемости Лебега. Некоторые свойства кратного интеграла Римана. Теоремы о связи инте-грала Римана и меры Жордана. Теоремы о сведении кратных интегралов к повторным. За-мена переменных в кратном интеграле: мера образа множества меры ноль по Жордану (Лебегу); одновременная интегрируемость. Теорема о замене переменных в кратном инте-грале.
Несобственный кратный интеграл.
Криволинейные интегралы I и II рода, их свойства. Формула Грина. Потенциальные векторные поля. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интег-рирования. Поверхности в , их площадь. Поверхностные интегралы I и II рода, их свой-ства. Кусочно гладкие поверхности. Формула Остроградского-Гаусса. Ротор векторного поля. Формула Стокса. Криволинейные интегралы I и II рода, их свойства. Формула Гри-на. Потенциальные векторные поля. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.
Поверхности в , их площадь. Поверхностные интегралы I и II рода, их свойства. Ку-сочно гладкие поверхности. Формула Остроградского-Гаусса. Ротор векторного поля. Формула Стокса.
Пространство, сопряженное к . Антисимметричные билинейные и полилинейные формы и их свойства. Внешнее произведение. Касательное пространство. Касательное отображение. Дифференциальные формы. Внешнее дифференцирование. Замена перемен-ных. Интеграл от дифференциальной формы по цепи. Обобщённая формула Стокса и её частные случаи.

На главную