Курс лекций математического анализа. Примеры задачи

Свойства дифференцируемых функций

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Множества и операции над ними. Свойства операций. Законы Моргана. Декартово произведение множеств и его свойства. Натуральные, целые и рациональные числа, их свойства. Аксиоматика действительных чисел. Бесконечные десятичные дроби как модель действительных чисел. Принципы полноты действительных чисел. Их эквивалентность. Эквивалентные множества. Счётные множества и их свойства. Несчётные множества. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Бернштейна.
Открытые и замкнутые множества и их свойства. Теоремы о конечных подпокрытиях и о существовании предельной точки. Предел последовательности и его свойства. Предел монотонной ограниченной последовательности. Число "е". Критерий Коши сходимости последовательности. Частичные пределы последовательности, их свойства. Числовые ряды.
Два определения предела функции, их эквивалентность. Свойства предела функции. Критерий Коши существования предела функции. Односторонние пределы и их свойства. Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Предел функции по базе и его свойства.
Функции, непрерывные на отрезке, и их свойства (теоремы Больцано-Коши, Вейерштрасса, Кантора). Теорема об обратной функции. Модуль непрерывности. Элементарные функции, их свойства. Замечательные пределы. Производная, касательная, дифференциал и их связи. Правила вычисления производных. Производные элементарных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши и Бонне. Следствия теоремы Лагранжа. Свойства производной. Правила Лопиталя. Формула Тейлора с различными формами остаточного члена. Ряды Тейлора. Разложения некоторых элементарных функций.
Достаточные условия локального экстремума. Глобальные экстремумы функции на отрезке. Выпуклость, точки перегиба. Свойства выпуклых функций. Неравенство Иенсена. Свойства односторонних производных выпуклых функций. Условия выпуклости.
Первообразная. Неопределённый интеграл и его свойства. Основные неопределённые интегралы. Интегрирование рациональных дробей, различных иррациональностей, тригонометрических и некоторых других выражений.
1 курс, 2 семестр.
Определённые интегралы Римана, Мак-Шейна и Курцвейля-Хенстока. Основная лемма о существовании разбиений. Простейшие свойства интегралов. Критерии Коши интегрируемости. Интегрируемость на подотрезках. Необходимое условие интегрируемости по Риману. Аддитивность интегралов по отрезкам. Интегрируемость производных по Курцвейлю-Хенстоку. Формула Ньютона-Лейбница и следствия из неё.
Верхняя мера Лебега и её свойства. Множества меры нуль по Лебегу. Интегрируемость ограниченных и непрерывных почти всюду функций по Риману и по Мак-Шейну. Ограниченность и непрерывность почти всюду интегрируемых по Риману функций. Связь интегралов Римана и Мак-Шейна. Критерий Лебега интегрируемости по Риману и следующие из него дополнительные свойства интеграла Римана.
Интегрируемость по Мак-Шейну функции, равной нулю почти всюду. Два определения измеримых на отрезке функций, их эквивалентность. Интегрируемость по Мак-Шейну ограниченных измеримых функций. Интеграл с переменным верхним пределом. Принадлежность классу Липшица при условии ограниченности. Дифференцируемость в точке. Существование первообразных.
Леммы Сакса-Хенстока. Непрерывность интеграла Курцвейля-Хенстока с переменным верхним пределом. Интегрируемость по модулю функций, интегрируемых по Мак-Шейну. Покрытие в смысле Витали. Теоремы Витали. Дифференцируемость почти всюду интеграла Курцвейля-Хенстока с переменным верхним пределом.
Определённые интегралы Римана-Стилтьеса, Мак-Шейна-Стилтьеса и Курцвейля-Хенстока-Стилтьеса; их простейшие свойства. Критерии Коши интегрируемости. Интегрируемость на подотрезках. Аддитивность интегралов Стилтьеса по отрезкам. Функции ограниченной вариации и их свойства. Функции ограниченной вариации как разность неубывающих функций. Интегрируемость в смысле Римана-Стилтьеса непрерывных функций по функциям ограниченной вариации. Интегрирование по частям в интеграле Римана-Стилтьеса. Сведение интеграла Римана-Стилтьеса к интегралу Римана. Интегрирование по частям и замена переменной в интеграле Римана. Формула Тейлора с остаточным членом в интегральной форме. Первая и вторая теоремы о среднем.
Несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости.
Метрические пространства. Нормированные пространства. Пространство , норма и метрика в нём. Открытые и замкнутые множества, их свойства. Компакты, их свойства. Критерий компактности в . Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки. Последовательности в метрических, нормированных пространствах и в , их пределы, свойства. Полные метрические пространства. Принцип вложенных шаров. Полнота .
Предел функции и его свойства (в метрических и нормированных пространствах). Непрерывные функции и их свойства (в метрических и нормированных пространствах). Принцип сжимающих отображений. Связные множества в метрических и нормированных пространствах и их свойства. Путь, длина пути и её свойства в метрических, нормированных пространствах и в .
Дифференцируемость отображений нормированных пространств. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Дифференциал. Частные производные. Геометрический смысл дифференцируемости функций нескольких переменных. Достаточные условия дифференцируемости. Производная по направлению. Градиент. Правила дифференцирования. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных.
Формула Тейлора функции нескольких переменных с остаточным членом в форме Лагранжа, интегральной и Пеано. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия его существования. Теоремы о существовании и дифференцируемости неявной функции. Условный экстремум. Метод неопределённых множителей Лагранжа его отыскания.< /BLOCKQUOTE>
 
На главную